Mathématiques : le programme, de la Terminale au Master 2
Comprendre les idées qui fondent les mathématiques et leurs grands résultats : le raisonnement, l'analyse, l'algèbre, les probabilités, jusqu'aux théories qui structurent la recherche actuelle. Des cours et des QCM, sans exercice à rédiger.
6 chapitres disponibles sur 53 prévus, répartis en 6 niveaux. Chaque chapitre est un cours à lire, suivi d'un QCM corrigé et expliqué ; un examen clôt chaque niveau. Gratuit, sans diplôme à la clé.
Terminale — Découvrir les mathématiques
Ce niveau reprend les grandes notions de la terminale scientifique, expliquées pour qu'on en comprenne le sens : raisonner et démontrer, les suites, les fonctions et la dérivation, l'exponentielle et le logarithme, l'intégration, les probabilités.
Raisonner
- Raisonner et démontrer : logique, contre-exemple, récurrence — Ce qu'est une démonstration, les quantificateurs, l'implication, le raisonnement par l'absurde et par récurrence.
Analyse
- Les suites : récurrence, limites, comportement — Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, limite et convergence.
- Fonctions : limites, continuité, dérivation — Ce que mesure le nombre dérivé, comment on étudie les variations d'une fonction, ce que garantit la continuité.
- Exponentielle et logarithme — Deux fonctions réciproques qui transforment les produits en sommes, et modélisent croissance et décroissance.
- Intégration : aire sous la courbe et primitives — Le lien entre l'aire sous une courbe et les primitives, et ce qu'il permet de calculer.
Probabilités
- Probabilités : conditionnement, indépendance, loi binomiale — Probabilités conditionnelles, arbres, indépendance, et la loi qui compte les succès d'une épreuve répétée.
Licence 1 — Les fondations
La première année pose les fondements — logique, ensembles, nombres, arithmétique — et installe les deux piliers de la licence : l'analyse des fonctions d'une variable et l'algèbre linéaire.
Fondements
- Logique, ensembles et applications À venir
- Les nombres : entiers, rationnels, réels, complexes À venir
- Arithmétique : divisibilité, nombres premiers, congruences À venir
Analyse
- Suites réelles et convergence À venir
- Continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable À venir
- Développements limités et étude locale À venir
- Intégration et équations différentielles linéaires À venir
Algèbre
- Polynômes À venir
- Systèmes linéaires et matrices À venir
- Espaces vectoriels et applications linéaires À venir
Licence 2 — Approfondir les outils
La deuxième année approfondit l'algèbre linéaire jusqu'à la réduction des matrices, étend l'analyse aux séries et aux fonctions de plusieurs variables, et ouvre les probabilités.
Algèbre linéaire
- Dimension, bases et rang À venir
- Déterminants À venir
- Réduction des endomorphismes : valeurs propres et diagonalisation À venir
- Espaces euclidiens : produit scalaire et orthogonalité À venir
Analyse
- Séries numériques À venir
- Suites et séries de fonctions, séries entières À venir
- Fonctions de plusieurs variables À venir
- Intégrales généralisées À venir
Probabilités
- Probabilités discrètes : variables aléatoires, espérance, variance À venir
- Probabilités continues et lois usuelles À venir
Licence 3 — Les grandes théories
La troisième année aborde les théories qui structurent les mathématiques modernes : topologie, mesure et intégrale de Lebesgue, analyse complexe, groupes et anneaux, probabilités et statistique, analyse numérique.
Analyse
- Topologie des espaces métriques À venir
- Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue À venir
- Analyse complexe À venir
- Équations différentielles À venir
Algèbre
- Groupes À venir
- Anneaux, corps et arithmétique À venir
- Algèbre bilinéaire et formes quadratiques À venir
Probabilités et applications
- Probabilités : convergences, loi des grands nombres, théorème central limite À venir
- Statistique inférentielle À venir
- Analyse numérique À venir
Master 1 — Approfondir
La première année de master approfondit l'analyse fonctionnelle et l'analyse de Fourier, ouvre sur la théorie de Galois, la géométrie et la topologie, et sur les processus aléatoires, l'optimisation et la statistique.
Analyse
- Analyse fonctionnelle : espaces de Banach et de Hilbert À venir
- Analyse de Fourier À venir
- Équations aux dérivées partielles À venir
Algèbre et géométrie
- Théorie de Galois À venir
- Géométrie différentielle : courbes et surfaces À venir
- Introduction à la topologie algébrique À venir
Probabilités et modélisation
- Processus aléatoires : chaînes de Markov et martingales À venir
- Optimisation À venir
- Statistique et apprentissage À venir
Master 2 — Spécialités et recherche
La seconde année présente des domaines de spécialité et leurs grandes questions, puis l'histoire des problèmes ouverts, la recherche et le mémoire.
Spécialités
- Théorie des nombres À venir
- Systèmes dynamiques et chaos À venir
- Calcul stochastique et mathématiques financières À venir
- Introduction à la géométrie algébrique À venir
- Mathématiques de la cryptographie À venir
- Logique mathématique et fondements À venir
Histoire et recherche
- Grands problèmes ouverts et histoire des mathématiques À venir
- La recherche en mathématiques et le mémoire de master À venir